まっどさいえんちすと

日本語が苦手なのでブログで練習します。パエリアが大好き

ABC予想~楕円曲線~モジュライ空間

驚くことに僕のブログを訪れてくれる人は、半分がabc予想に興味があるようなので、こちらの話題を優先して少し。

 昨年から騒がれている京大の望月先生のabc予想解決ニュースであるが、500ページの大論文なので、それを読もうなんて、甚だしいことはしない。けれど、望月先生の論文、テイラーワイルズによるフェルマー予想の証明、数論の発展においては、楕円曲線という曲線が大きな役割を果たしているのです。それって不思議ですよね。

 ちょっと話を進めると望月論文では、abc予想の証明にa+b=cとなる整数を考えるのですが、そのa,b,cが楕円曲線を構築して、その楕円曲線が比較的少ないから!という方針を取っています。

「曲線が少ない?はぁ?意味不明?」と思うことでしょう。それ理解をするためには、一つコツがあります。モジュライ空間です。

 楕円曲線を理解する上で、必要になる知識はいくつかありますが、それ以前にまず幾何構造が数論では大変有意義であるということを感覚として掴む必要があります。

 さてその感覚ですが、図形というのを、一つのある空間を群で割った物として解釈するんです。

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(普遍被覆空間を基本群で割ると数学用語で言うけど、どうでもokay)

ゆっくり説明します。(ドーナツの具体例を使います)

1:まずはじめに、全体空間があります。(ただのxy平面があります)

2:そして今度は、この全体空間に作用する集合をZ2と考えます。(ドーナツは平面を2次元に平行移動してできると考えます。このうち(x,y)が共に整数のものだけで、かつ平行移動からなる部分をとします。)

3:その作用の基本領域を多様体Tとして考えます。

つまりイメージでいうと、で割るとドーナツになるということです。

次回は楕円曲線のモジュライ空間について説明します。

 

楕円曲線について勉強したければ、こちらの本が丁寧です。

 

楕円関数論―楕円曲線の解析学

楕円関数論―楕円曲線の解析学